Để chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm:
a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0

Ta có thể biến đổi phương trình theo cách sau:
a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0
= a(x^2 - (b + c)x + bc) + b(x^2 - (a + c)x + ac) + c(x^2 - (a + b)x + ab) = 0
= (a + b + c)x^2 - (ab + ac + bc)x + abc + abc + abc = 0
= (a + b + c)x^2 - (ab + ac + bc)x + 3abc = 0

Để phương trình trên luôn có nghiệm, ta cần chứng minh rằng hệ số của x^2 và x đều khác 0.

Với hệ số của x^2: a + b + c, vì a, b, c là các số thực có tổng khác 0, nên hệ số của x^2 khác 0.

Với hệ số của x: -(ab + ac + bc), ta có:
ab + ac + bc = a(b + c) + bc = a(b + c) - a(b + c) = 0
Do đó, hệ số của x cũng khác 0.

Vậy, phương trình đã cho luôn có nghiệm.