Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA, vẽ tâm I đường kính AO. Trên đường kính tâm I lấy B bất kì, AP cắt (O) ở Q. Hạ QH vuông góc AB

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và định lý Euclid.

a. Ta có AP = PQ (đường kính chia đôi cung còn lại).

b. Ta có IP // OQ (do I là trung điểm của OA và OQ).

c. Để tính tỷ lệ diện tích hai tam giác, ta cần biết độ dài các cạnh của chúng. Ta sẽ tính các cạnh của tam giác APO và tam giác AQB.

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:

- Tam giác APO: AM là đường cao, AO là đường trung tuyến. Vì I là trung điểm của OA, nên ta có AI = IM. Do đó, tam giác APO là tam giác vuông cân tại A. Ta có AP = AO = R (bán kính đường tròn).

- Tam giác AQB: Ta có AQ = AB - BQ = 2R - BQ. Vì I là trung điểm của OA, nên ta có AI = IM. Do đó, tam giác AQB là tam giác vuông cân tại A. Ta có AB = 2R (đường kính đường tròn).

Vậy, ta có:

StgAPO = 1/2 * AP * AO = 1/2 * R * R = R^2/2
StgAQB = 1/2 * AQ * AB = 1/2 * (2R - BQ) * 2R = (2R - BQ) * R

Từ đó, ta có:

StgAPO/StgAQB = (R^2/2) / ((2R - BQ) * R) = R/2(2 - BQ/R)

Vậy, tỷ lệ diện tích hai tam giác là R/2(2 - BQ/R).