a) Ta có AM = AN (đề bài cho). Vì M là trung điểm BC nên BM = MC. Khi đó, ta có:
BM = MC
AM = AN
Vậy tam giác BMN và CMA có hai cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau theo nguyên tắc cạnh-góc-cạnh (C-G-C).

b) Ta có AM = AN (đề bài cho). Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ. Khi đó, góc MAB = góc NAC (cùng là góc vuông BAC) và góc AMB = góc ANC (cùng là góc vuông). Vậy hai tam giác MAB và NAC có các góc tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng. Từ đó suy ra AB // CN theo nguyên tắc góc-góc.

c) Ta có AM = AN (đề bài cho) và BM = MC (M là trung điểm BC). Vậy tứ giác ABNM là hình bình hành. Khi đó, ta có AM = 1/2 BC theo tính chất của hình bình hành.

d) Ta có CA = CF (đề bài cho) và BA = BG (đề bài cho). Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ. Khi đó, góc BCF = góc BAC = 90 độ và góc BCG = góc BAC = 90 độ. Vậy CF và CG là hai đường cao của tam giác BCG. Từ đó suy ra CF = CG. Vậy tam giác BCF là tam giác cân tại C. Tương tự, tam giác BCG cũng là tam giác cân tại C. Khi đó, ta có góc BCF = góc BCG. Vì CF = CG nên tam giác BCF và BCG là tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra góc BFC = góc BGC. Vậy ba điểm G, N, F thẳng hàng theo nguyên tắc góc-góc.