Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lý về tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

1) Ta có định lý: "Tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn là đường thẳng vuông góc với đường kính qua điểm đó". Vì vậy, ta có CM ⊥ AC.

2) Để chứng minh BC.BD = AB^2, ta sẽ sử dụng định lý: "Đường tiếp tuyến và đường kính của đường tròn tạo thành một góc vuông". Vì vậy, ta có ∠BCD = 90°.

Gọi E là giao điểm của BC và Ax. Ta cần chứng minh BC.BD = AB^2.

Ta có:
∠BAC = ∠BMC (góc nội tiếp cùng cung)
∠BAC = ∠BDC (góc nội tiếp cùng cung)
∠BMC = ∠BDC (hai góc đối nhau)
∠BMC = ∠BCD (hai góc nội tiếp cùng cung)

Vì vậy, tam giác BMC và tam giác BCD đồng dạng (có hai góc bằng nhau). Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:

BM/BC = BC/BD

Từ đó, ta có BM.BD = BC^2

Vì BM = AB (vì AM là tiếp tuyến), nên ta có:

AB.BD = BC^2

Vậy, ta đã chứng minh BC.BD = AB^2.