Cho ∆ABC có AB < AC

a) Ta có AM = AB (theo đề bài), AD là tia phân giác của ∠BAC (theo đề bài), nên ta có:
∠BAM = ∠BAD (cùng là góc phân giác)
∠MAB = ∠DAB (cùng là góc phân giác)
Vậy ∆ABM ≅ ∆ABD (theo góc - cạnh - góc)
Do đó, AABD = AAMD (theo góc - cạnh - góc)

b) Ta có AB = AM (theo đề bài), AD là tia phân giác của ∠BAC (theo đề bài), nên ta có:
∠BAM = ∠BAD (cùng là góc phân giác)
∠MAB = ∠DAB (cùng là góc phân giác)
Vậy ∆ABM ≅ ∆ABD (theo góc - cạnh - góc)
Do đó, AB = AD (theo cạnh - góc - cạnh)
Mà I là giao điểm của AD và BM, nên ta có:
∠BIM = ∠BID (cùng là góc phân giác)
∠IBM = ∠IDB (cùng là góc phân giác)
Vậy ∆IBM ≅ ∆IDB (theo góc - cạnh - góc)
Do đó, IB = ID (theo cạnh - góc - cạnh)
Từ đó, ta có AI = AM (vì AB = AM) và IB = ID, nên I là trung điểm của BM và AI.

c) Ta có KB = KP (theo đề bài), K là trung điểm của AM (theo đề bài), nên ta có:
∠KBP = ∠KPB (cùng là góc phân giác)
∠KPB = ∠KMP (cùng là góc phân giác)
Vậy ∆KBP ≅ ∆KMP (theo góc - cạnh - góc)
Do đó, MP // BP (theo cạnh - góc - cạnh)
Mà AB // BP (vì AB = AM và KB = KP), nên ta có MP // AB.

d) Ta có MP = ME (theo đề bài), nên ta có:
∠EMP = ∠EPM (cùng là góc phân giác)
∠EPM = ∠MPE (cùng là góc phân giác)
Vậy ∆EMP ≅ ∆EPM (theo góc - cạnh - góc)
Do đó, EP = EM (theo cạnh - góc - cạnh)
Mà A, I, E là các điểm trên tia đối của tia MP và AI = AM (vì AB = AM), nên ta có AI = AM = AE.
Từ đó, ta có A, I, E thẳng hàng.