Để giải bài toán này, ta sử dụng một số kiến thức về hình học đường tròn.

Gọi G là giao điểm của hai cát tuyến MAB và MCD. Ta có:

- Góc MGA = Góc MCA (cùng nằm ở cùng một cung MA)
- Góc MGB = Góc MDB (cùng nằm ở cùng một cung MB)
- Góc MGA + Góc MGB = 180° (góc ở tâm đối diện với góc ngoài)

Vì số đo cung lớn BD là 240°, nên góc MDB = 240°/2 = 120°.

Vì số đo dây cung nhỏ AC là 30°, nên góc MCA = 30°/2 = 15°.

Áp dụng định lý góc nội tiếp, ta có:

Góc MGA = 180° - Góc MCA = 180° - 15° = 165°.

Vì góc MGA = góc MCA, nên góc MGA = góc MCA = 165°.

Vậy số đo góc AMC là 165°.