Để chứng minh DF || AB, ta sẽ sử dụng định lí tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Gọi E là giao điểm của KA và KB. Ta có:

∠KAE = ∠KBE = 90° (vì KA và KB là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Do đó, tứ giác AKBE là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí tiếp tuyến chung, ta có:

∠KCD = ∠KAE = ∠KBE

Vậy, tứ giác KBCD là tứ giác cân.

Gọi N là giao điểm của CF và KD. Ta cần chứng minh N nằm trên đường tròn (O).

Ta có:

∠KDN = ∠KDC + ∠CDN = ∠KBC + ∠CDN = ∠KBN + ∠CDN = ∠KDN + ∠CDN

Do đó, ∠KDN = ∠CDN

Vậy, N nằm trên đường tròn (O).

Gọi P là giao điểm của AB và CD. Ta cần chứng minh P nằm trên đường tròn (O).

Ta có:

∠KPD = ∠KCD = ∠KBC = ∠KPA

Do đó, P nằm trên đường tròn (O).

Vì M là giao điểm của OK và AB, nên ta có:

∠KMA = ∠KPA = ∠KPD = ∠KCD = ∠KBC = ∠KBE = ∠KAE

Do đó, KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Áp dụng định lí tiếp tuyến chung, ta có:

∠KME = ∠KAE = ∠KBE

Vậy, tứ giác KEMB là tứ giác cân.

Do đó, KM = MB.

Vì KM = MB, nên ta có:

∠MKB = ∠MBK

Vì KM là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên ta có:

∠MKB = ∠KAO

Vì KM = MB, nên ta có:

∠MBK = ∠KBO

Từ đó, ta có:

∠KAO = ∠KBO

Do đó, AO || BO.

Vậy, DF || AB.