Cho đường tròn tâm O đường kính BC

a) Ta có:
$\widehat{BHC} = 90^\circ$ (do $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$)
$\widehat{BMC} = \widehat{BHC} = 90^\circ$ (do $BMHC$ là tứ giác nội tiếp)
Vậy tứ giác $BMNC$ nội tiếp đường tròn.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Ta có:
$\widehat{BKC} = 90^\circ$ (do $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$)
$\widehat{BAK} = \widehat{BHK} = 90^\circ$ (do $AHBK$ là tứ giác nội tiếp)
Vậy $AK$ là đường kính của đường tròn $O$.

Gọi $E$ là trung điểm của $HK$. Ta có:
$EK = \frac{1}{2} HK = \frac{1}{2} AK$ (do $E$ là trung điểm của $HK$)
$EN = \frac{1}{2} AN$ (do $E$ là trung điểm của $HK$)
Vậy $EK = EN$.
Vậy ta có $EM = EN$.