Để tìm số nguyên x sao cho A/(x^2 + x + 1) nhận giá trị nguyên, ta cần giải phương trình sau:

((x ^ 2 - 16)/(x - 4) - 1); ((x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)) = k(x ^ 2 + x + 1)

Trước hết, ta giải biểu thức A:

A = ((x ^ 2 - 16)/(x - 4) - 1); ((x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)
= ((x + 4)(x - 4)/(x - 4) - 1); ((x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)
= (x + 4 - 1); ((x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)
= x + 3 + (x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)

Tiếp theo, ta thay A vào phương trình ban đầu:

(x + 3 + (x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3))/(x ^ 2 + x + 1) = k

Để giá trị của phương trình trên là một số nguyên, ta cần tìm giá trị của x sao cho tử số chia hết cho mẫu số. Tức là:

(x + 3 + (x - 2)/(x - 3) + (x + 3)/(x + 1) + (x + 2 - x ^ 2)/(x ^ 2 - 2x - 3)) chia hết cho (x ^ 2 + x + 1)

Tuy nhiên, việc giải phương trình này sẽ khá phức tạp và không thể giải bằng phương pháp thông thường. Để tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên, ta cần sử dụng phần mềm hoặc công cụ hỗ trợ tính toán.