Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

B1: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, ta cần có \( \Delta > 0 \) và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là \( \Delta > 0 \) và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn là nghiệm lớn hơn 0.

Đặt \( \Delta = (4m+1)^2 - 4*4m = 16m^2 + 8m + 1 - 16m = 16m^2 + 8m + 1 - 16m \)

Điều kiện \( \Delta > 0 \) và nghiệm dương nhỏ hơn 0 ta có:

1. \( \Delta > 0 \) => \( 16m^2 + 8m + 1 - 16m > 0 \) => \( 16m^2 - 8m + 1 > 0 \) => \( (4m-1)^2 > 0 \) => \( 4m-1 \neq 0 \) => \( m \neq \frac{1}{4} \)

2. Nghiệm dương nhỏ hơn 0 => nghiệm lớn hơn 0 => nghiệm phải dương => nghiệm phải lớn hơn 0

Giải phương trình \( x^2 -(4m+1)x+4m=0 \) ta được nghiệm là \( x = \frac{4m+1 \pm \sqrt{\Delta}}{2} \)

Để nghiệm dương, ta cần \( \frac{4m+1 + \sqrt{\Delta}}{2} > 0 \) => \( 4m+1 + \sqrt{\Delta} > 0 \) => \( \sqrt{\Delta} > -4m-1 \) => \( \Delta > (-4m-1)^2 \)

Thay \( \Delta = 16m^2 + 8m + 1 - 16m \) vào \( \Delta > (-4m-1)^2 \) ta được:

\( 16m^2 + 8m + 1 - 16m > (16m^2 + 8m + 1)^2 \) => \( 16m^2 + 8m + 1 - 16m > 256m^4 + 128m^2 + 1 + 32m^3 + 16m + 2*8m^2 + 2*8m + 2*4m^2 \)

=> \( 16m^2 + 8m + 1 - 16m > 256m^4 + 128m^2 + 1 + 32m^3 + 16m + 16m^2 + 16m + 8m^2 \)

=> \( 0 > 256m^4 + 32m^3 + 152m^2 + 32m + 1 \)

Để giải phương trình bậc 4 trên, ta cần sử dụng phương pháp khác.

B2*: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3, ta cần có \( \Delta > 0 \) và nghiệm lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 là \( \Delta > 0 \) và nghiệm lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3.

Đặt \( \Delta = (-4)^2 - 4*2*5(m-1) = 16 - 40(m-1) = 16 - 40m + 40 \)

Điều kiện \( \Delta > 0 \) và nghiệm lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 ta có:

1. \( \Delta > 0 \) => \( 16 - 40m + 40 > 0 \) => \( -40m + 56 > 0 \) => \( m < \frac{14}{5} \)

2. Nghiệm lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 => nghiệm phải dương và nhỏ hơn 3

Giải phương trình \( 2x^2-4x+5(m-1)=0 \) ta được nghiệm là \( x = \frac{4 \pm \sqrt{\Delta}}{4} \)

Để nghiệm lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3, ta cần \( \frac{4 + \sqrt{\Delta}}{4} > 0 \) và \( \frac{4 + \sqrt{\Delta}}{4} < 3 \)

=> \( 4 + \sqrt{\Delta} > 0 \) và \( 4 + \sqrt{\Delta} < 12 \)

=> \( \sqrt{\Delta} > -4 \) và \( \sqrt{\Delta} < 8 \)

=> \( \Delta > 16 \) và \( \Delta < 64 \)

Thay \( \Delta = 16 - 40m + 40 \) vào \( \Delta > 16 \) và \( \Delta < 64 \) ta được:

\( 16 - 40m + 40 > 16 \) và \( 16 - 40m + 40 < 64 \)

=> \( -40m + 40 > 0 \) và \( -40m + 40 < 24 \)

=> \( m < 1 \) và \( m > \frac{4}{5} \)

Vậy, để phương trình \( 2x^2-4x+5(m-1)=0 \) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3, ta cần \( m \) thỏa mãn \( m < \frac{14}{5} \) và \( m < 1 \) và \( m > \frac{4}{5} \).