a) Chứng minh ΔAMB = ΔAMC.Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(MB = MC\). Vì \(AB = AC\) (theo điều kiện của đề bài), nên \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\), do đó \(AM\) là đoạn đối xứng của \(AB\) qua \(AC\). Do đó, theo tính chất của đoạn đối xứng, ta có \(∠AMB = ∠AMC\). Hơn nữa, \(AB = AC\) nên \(∠BAM = ∠CAM\). Vậy, theo góc - cạnh - góc, ta suy ra \(ΔAMB = ΔAMC\).b) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\). Từ \(D\) kẻ đường vuông góc với \(AM\) tại \(K\) và kéo dài cắt cạnh \(AC\) tại \(E\). Chứng minh tam giác \(ADE\) cân.Ta đã biết \(M\) là trung điểm của \(BC\), vì vậy \(ME = MC\). Do đó, \(EF = MC\) (theo điều kiện của đề bài). \(H\) là trung điểm của \(EC\), vậy \(EH = HC\). Vì \(EF = MC\) và \(EH = HC\), nên tam giác \(EFH\) là tam giác đều. Khi đó, \(∠EHF = 60°\). Mà \(∠HEF = 90°\) (do \(EF\) vuông góc với \(EC\)), nên \(∠EHC = 30°\). Tương tự, \(∠ECH = 30°\). Vậy \(∠CEH = 60°\). Như vậy, ta có \(∠HEC = 90°\). Từ đó suy ra \(∠AEH = 90°\). Vậy, \(AE\) vuông góc với \(AM\). Nhưng \(AM\) là đoạn đối xứng của \(AB\) qua \(AC\), nên \(AE = AD\). Vậy, tam giác \(ADE\) cân.c) Trên tia đối của tia \(ED\) lấy điểm \(F\) sao cho \(EF = MC\), gọi \(H\) là trung điểm của \(EC\). Chứng minh ba điểm \(M\), \(H\), \(F\) thẳng hàng.Ta đã chứng minh trong (b) rằng tam giác \(EFH\) là tam giác đều với góc \(∠EHF = 60°\). Vì vậy, \(∠EHF = ∠EFH = 60°\). Nhưng \(∠MCE = 60°\) (do \(MC = ME\)), nên ta có \(∠MCE = ∠EFH\). Từ đó suy ra \(∠MCE = ∠EHF\). Nhưng \(∠ECH = ∠FHE = 30°\) (do \(EH = HC\)), nên \(∠MCE = ∠FHE = 30°\). Do đó, ta có \(∠MFH = 180° - ∠MCE - ∠FHE = 120°\). Nhưng \(∠MCE = 60°\) và \(∠FHE = 30°\), nên \(∠MFH = 120°\). Vậy, ba điểm \(M\), \(H\), \(F\) thẳng hàng.