a. Ta có:
$\angle AHB = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle HBA = \angle BAH$ (cùng chắn cung AH)
Vậy tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA theo góc.

Do đó, ta có $\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA}$
Suy ra $AB^2 = BC \cdot BH$

b. Ta có:
$\angle AHB = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle AHC = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
Vậy tứ giác AHBC là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác AHBC, ta có:
$AH \cdot BC = AB \cdot HC + AC \cdot BH$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $AB^2 = BC \cdot BH$ và $AC^2 = BC \cdot HC$

Thay vào công thức trên, ta được:
$AH \cdot BC = AB \cdot HC + AC \cdot BH$
$AH \cdot BC = BC \cdot BH + BC \cdot HC$
$AH = BH + HC$
$AH^2 = (BH + HC)^2$
$AH^2 = BH^2 + 2BH \cdot HC + HC^2$
$AH^2 = BH \cdot HC + BH^2 + HC \cdot BH + HC^2$
$AH^2 = BH \cdot HC + BC \cdot BH + BC \cdot HC$
$AH^2 = BH \cdot (HC + BC) + BC \cdot HC$
$AH^2 = BH \cdot AC + BC \cdot HC$
$AH^2 = BH \cdot AC + AC \cdot HC$
$AH^2 = AC \cdot (BH + HC)$
$AH^2 = AC^2$

c. Ta có:
$\angle ABE = \angle EBC$ (phân giác của tam giác ABC)
$\angle AEB = \angle BEC$ (phân giác của tam giác ABC)
Vậy tam giác AEB đồng dạng tam giác BEC theo góc.

Do đó, ta có $\frac{BM}{MA} = \frac{BE}{EC}$ và $\frac{CN}{BN} = \frac{CE}{EA}$

Kết hợp hai tỷ lệ trên, ta được:
$\frac{BM}{MA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CN}{BN} = \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{CN}{BN} = 1$

Vậy $BM/MA \cdot AE/EC \cdot CN/BN = 1$.