a) Gọi S là diện tích tam giác AEF. Ta có:
S = S(AEF) = S(AEB) + S(AFC) = \(\frac{1}{2}\)AE.BH.sin(90°) + \(\frac{1}{2}\)AF.CH.sin(90°) = \(\frac{1}{2}\)AE.BH + \(\frac{1}{2}\)AF.CH.

Áp dụng đẳng thức Ptolemy trong tứ giác ABHC ta có:
AB.CH + AC.BH = AH.BC = 10AH.

Do đó, AF.CH + AE.BH = (AF + AE)CH + AE.BH = AC.BH + AB.CH = 10AH.

Vậy S = \(\frac{1}{2}\)AE.BH + \(\frac{1}{2}\)AF.CH ≤ \(\frac{1}{2}\)10AH = 5AH.

Đẳng thức xảy ra khi AE = AF, tức là tam giác AEF là tam giác đều. Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF là 5AH².

b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có IP // AB, IQ // AC, do đó tam giác IPQ là tam giác chia đôi của tam giác ABC. Vậy ta có:
\(S(IPQ) = \frac{1}{2}S(ABC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{4} \times 10 \times AH = \frac{5}{2}AH.\)

Do đó, chu vi tam giác HIK = 2(IP + IQ) = 4IP = 4 \(\sqrt{\frac{5}{2}}\)AH = 2\(\sqrt{10}\)AH.

Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác HIK là 2\(\sqrt{10}\)AH.