a) Ta có:
\[AE = AB - BE\]
\[AF = AC - CF\]
Vậy:
\[AE \cdot AB = (AB - BE) \cdot AB = AB^2 - AB \cdot BE\]
\[AF \cdot AC = (AC - CF) \cdot AC = AC^2 - AC \cdot CF\]
Ta cần chứng minh:
\[AB^2 - AB \cdot BE = AC^2 - AC \cdot CF\]
\[AB^2 - AC^2 = AB \cdot BE - AC \cdot CF\]
\[(AB + AC)(AB - AC) = BE(AB - AC) - CF(AC - AB)\]
\[AB + AC = BE - CF\]
Nhưng ta có:
\[BE = BH + HE = BH + AH = AB\]
\[CF = CH + HF = CH + AH = AC\]
Vậy ta có:
\[AB + AC = AB + AC\]
Vậy ta đã chứng minh được \(AE \cdot AB = AF \cdot AC\).

b) Ta có:
\[\angle BHE = 90^\circ - \angle ABE = \angle ABC\]
\[\angle CFE = 90^\circ - \angle ACF = \angle ACB\]
Vậy tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có:
\[AH^2 + BH^2 = AB^2\]
\[3^2 + R^2 = 5^2\]
\[R^2 = 16\]
\[R = 4\]
Vậy \(R = 4\)cm.