Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học tam giác và các định lý liên quan.

Đầu tiên, để chứng minh \( \triangle BND \) là tam giác vuông, chúng ta cần chú ý rằng \( ND \) là đường cao của tam giác \( ABC \) với cạnh \( BC \). Do đó, điểm \( D \) nằm trên \( BC \) và \( ND \perp BC \). Vì \( AB = AC \) nên \( \angle B = \angle C \), từ đó suy ra \( \angle BND = \angle CND \), tức là \( \triangle BND \) là tam giác cân. Và do \( \angle B = \angle C \), nên \( \angle BND = \angle CND = 90^\circ \), do đó \( \triangle BND \) là tam giác vuông tại \( N \).

Tiếp theo, để chứng minh \( 2\mathrm{AD}^2 < \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \), chúng ta sử dụng định lý về đường cao trong tam giác vuông và tam giác tương đồng. Ta có:
\[ \frac{AD}{BD} = \frac{AD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]
Với \( BD = CD \) do \( \triangle BND \) là tam giác cân và \( AD \) là đường cao. Từ đó suy ra:
\[ AD^2 = BD \cdot CD = \frac{1}{4} BC^2 \]
Và do \( AB = AC \) nên:
\[ 2AD^2 = \frac{BC^2}{2} \]
\[ \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} = \frac{BC^2}{2} \]
Vậy ta có:
\[ 2AD^2 < \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \]

Cuối cùng, để tính diện tích của tam giác \( AHK \), ta sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Đặt \( s \) là nửa chu vi của tam giác \( AHK \), ta có:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{b + c + c}{2} = \frac{b + 2c}{2} \]
Áp dụng công thức Heron:
\[ S_{AHK} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
\[ = \sqrt{\frac{b+2c}{2}\left(\frac{b+2c}{2}-b\right)\left(\frac{b+2c}{2}-c\right)\left(\frac{b+2c}{2}-c\right)} \]
\[ = \sqrt{\frac{b+2c}{2}\left(\frac{c}{2}\right)\left(\frac{c}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)} \]
\[ = \sqrt{\frac{bc^2}{16}} = \frac{c\sqrt{bc}}{4} \]

Vậy diện tích của tam giác \( AHK \) là \( \frac{c\sqrt{bc}}{4} \).