Cho (P): y = x^2 và đường thẳng (d): y = mx + 1; a) Chứng minh rằng: Với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm AB; b) Tìm m để S OAB = 3. 

a) Để chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị của hàm số y = x^2 tại 2 điểm A và B, ta cần giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = x^2 \\
y = mx + 1
\end{cases}
\]
Thay y = x^2 vào phương trình thứ 2 ta được:
\[
x^2 = mx + 1
\]
\[
x^2 - mx - 1 = 0
\]
Đây là phương trình bậc 2, với a = 1, b = -m, c = -1. Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số y = x^2 tại 2 điểm, ta cần có \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\):
\[
\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = m^2 + 4 > 0
\]
Vậy với mọi m, đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị hàm số y = x^2 tại 2 điểm A và B.

b) Để tìm m sao cho diện tích tam giác S OAB bằng 3, ta cần tính diện tích của tam giác S OAB. Đặt A(x1, y1) và B(x2, y2) là hai điểm cắt của đường thẳng (d) với đồ thị hàm số y = x^2.

Diện tích tam giác S OAB được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot |x1 - x2| \cdot |y1 - y2|
\]
Với y1 = x1^2 và y2 = x2^2, ta có:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot |x1 - x2| \cdot |x1^2 - x2^2| = \frac{1}{2} \cdot |x1 - x2| \cdot |x1 + x2| \cdot |x1 - x2|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot |x1 + x2| \cdot |x1 - x2|^2
\]
Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình x^2 - mx - 1 = 0, ta có:
\[
x1 + x2 = m
\]
\[
x1 \cdot x2 = -1
\]
Do đó:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot |m| \cdot |m^2 - 4|
\]
Đề bài yêu cầu S = 3, ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot |m| \cdot |m^2 - 4| = 3
\]
\[
|m| \cdot |m^2 - 4| = 6
\]
Với m > 0, ta có:
\[
m \cdot (m^2 - 4) = 6
\]
\[
m^3 - 4m - 6 = 0
\]
Phương trình này có thể giải bằng phương pháp đồ thị hoặc bằng phương pháp khác. Kết quả tìm được sẽ là giá trị của m để diện tích tam giác S OAB bằng 3.