Để phương trình có nghiệm, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$, với $\Delta$ là biểu thức dưới dấu căn trong công thức tính $\Delta = b^{2} - 4ac$ của phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$.

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có:
$a = 4$, $b = -2(2m - 1)$, $c = m^{2} - 2$.

Suy ra $\Delta = (-2(2m - 1))^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (m^{2} - 2)$.

Ta cần giải phương trình $\Delta \geq 0$:
$(-2(2m - 1))^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (m^{2} - 2) \geq 0$.

Mở ngoặc và rút gọn ta được:
$16m^{2} - 16m + 4 - 16m^{2} + 32 \geq 0$,
$-16m + 36 \geq 0$,
$16m \leq 36$,
$m \leq \frac{9}{4}$.

Vậy để phương trình có nghiệm, ta cần $m \leq \frac{9}{4}$.

Để tính tổng và tích các nghiệm, ta có công thức tổng và tích của nghiệm của phương trình bậc hai:
Nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì:
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$ và $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$.

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có:
$x_{1} + x_{2} = \frac{2(2m - 1)}{4} = \frac{2m - 1}{2}$,
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m^{2} - 2}{4}$.

Vậy tổng các nghiệm là $\frac{2m - 1}{2}$ và tích các nghiệm là $\frac{m^{2} - 2}{4}$.