Để chứng minh rằng hai tam giác \( \mathrm{ABC} \) và \( \mathrm{MNP} \) có cùng trọng tâm, ta cần chứng minh rằng trọng tâm của từng tam giác này trùng nhau.

Trọng tâm của một tam giác là điểm trọng tâm của các đỉnh của tam giác, được định nghĩa là giao điểm của ba đoạn thẳng nối trọng tâm của mỗi cặp đỉnh của tam giác.

Gọi \( G_1 \) là trọng tâm của tam giác \( \mathrm{ABC} \) và \( G_2 \) là trọng tâm của tam giác \( \mathrm{MNP} \).

Ta có:
\[ \frac{BM}{BC} = \frac{CN}{CA} = \frac{AP}{AB} < \frac{1}{2} \]

Điều này ngụ ý rằng điểm \( M \) nằm giữa \( B \) và \( C \), \( N \) nằm giữa \( C \) và \( A \), và \( P \) nằm giữa \( A \) và \( B \).

Vì vậy, ta có thể viết:
\[ BM = \frac{1}{2} BC \]
\[ CN = \frac{1}{2} CA \]
\[ AP = \frac{1}{2} AB \]

Từ đó, ta suy ra:
\[ AM = BM \]
\[ BN = CN \]
\[ CP = AP \]

Như vậy, ta thấy rằng \( G_1 \) và \( G_2 \) đều là trọng tâm của các tam giác \( \mathrm{ABC} \) và \( \mathrm{MNP} \) tương ứng.

Do đó, hai tam giác \( \mathrm{ABC} \) và \( \mathrm{MNP} \) có cùng trọng tâm.