Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Lấy điểm G bất kì nằm trên AC, BG và AD cắt nhau tại E. Chứng minh DB/DC : EB/EG = AG/AC

Ta có:
$\frac{DB}{DC} = \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD}/2}{AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD}/2} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin{\angle BAD}}{\sin{\angle CAD}}$

$\frac{EB}{EG} = \frac{S_{ABE}}{S_{AGE}} = \frac{AB \cdot AE \cdot \sin{\angle BAE}/2}{AG \cdot AE \cdot \sin{\angle GAE}/2} = \frac{AB}{AG} \cdot \frac{\sin{\angle BAE}}{\sin{\angle GAE}}$

Vậy ta cần chứng minh: $\frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin{\angle BAD}}{\sin{\angle CAD}} = \frac{AB}{AG} \cdot \frac{\sin{\angle BAE}}{\sin{\angle GAE}}$

Ta có $\angle BAD = \angle BAE$ (vì AD là đường phân giác), $\angle CAD = \angle GAE$ (vì AG//CD), nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức đã được chứng minh.