Cho C = 2(x - 1)^2 + 1/(x - 1)^2 + 2

a) Để C nguyên, ta cần xác định điều kiện để phần tử đầu tiên và thứ hai của biểu thức là số nguyên.

Phần tử đầu tiên là 2(x-1)^2, để nó là số nguyên thì (x-1)^2 phải là số nguyên.

Phần tử thứ hai là 1/(x-1)^2, để nó là số nguyên thì (x-1)^2 phải là 1 hoặc -1.

Vậy x-1 = 1 hoặc x-1 = -1, suy ra x = 2 hoặc x = 0.

b) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, ta có thể sử dụng đạo hàm của C theo x và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Đạo hàm của C theo x:
C' = 4(x-1) - 2/(x-1)^3

Để C' = 0, ta có:
4(x-1) - 2/(x-1)^3 = 0
4(x-1)^4 - 2 = 0
4(x-1)^4 = 2
(x-1)^4 = 1/2
x-1 = ±√(1/2)
x = 1 ± √(1/2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là C(1-√(1/2)) = 2 - 2√(1/2) + 2 = 4 - 2√2.