a) Tam giác ADE và tam giác AEF là tam giác vuông tại A.

• Vì góc BAD = 90° (cung AB là cung nửa vòng tròn).
• Vì góc CAE = 120° (cung AC là cung 2/3 vòng tròn).
• Do đó, tam giác ADE và tam giác AEF là tam giác vuông tại A.
• Để tính các cạnh của tam giác ADF, chúng ta cần biết các cạnh của tam giác vuông ADE.

b) Chứng minh B, C, F, D cùng nằm trên cùng một đường tròn.

• Ta biết rằng mỗi điểm nằm trên đường tròn là tiếp xúc với tiếp tuyến tại điểm đó.
• Vì vậy, để chứng minh B, C, F, D nằm trên cùng một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm E.

c) Chứng minh AB.AD = AC.AF = 4R^2

• Ta biết rằng trong tam giác vuông ADE, áp dụng định lí Pythagoras, ta có: AD^2 + DE^2 = AE^2 = 4R^2.
• Tương tự, trong tam giác vuông AEF, ta có: AF^2 + EF^2 = AE^2 = 4R^2.
• Do đó, AB.AD = AC.AF = 4R^2.

d) Để tính BC và diện tích tam giác ABC theo R, chúng ta cần biết các giá trị cụ thể của các cạnh của tam giác và sử dụng các định lý hình học.