Để tính diện tích hình tam giác AMN, ta cần tìm độ dài cạnh MN và chiều cao từ A đến MN.

Do BM = CN = 3cm, ta có MN = BM + CN = 3cm + 3cm = 6cm.

Để tính chiều cao từ A đến MN, ta cần tìm góc giữa MN và cạnh AB hoặc AC. Ta có thể sử dụng định lý cosin để tính góc này.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC)\]

\[\Rightarrow BC^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \times 9 \times 12 \times \cos(\angle BAC)\]

\[\Rightarrow BC^2 = 81 + 144 - 216 \times \cos(\angle BAC)\]

\[\Rightarrow BC^2 = 225 - 216 \times \cos(\angle BAC)\]

\[\Rightarrow \cos(\angle BAC) = \frac{225 - BC^2}{216}\]

Với BC = 15cm (vì diện tích tam giác ABC là 15cm^2), ta tính được \(\cos(\angle BAC)\).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AMN:

\[MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \times AM \times AN \times \cos(\angle MAN)\]

Do \(\angle MAN = 180^\circ - \angle BAC\), ta có thể tính được chiều cao từ A đến MN.

Sau khi tính được chiều cao và cạnh MN, ta có thể tính diện tích hình tam giác AMN bằng công thức:

\[S_{AMN} = \frac{1}{2} \times MN \times h\]