Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn 2a^2 + a = 3b^2 + b

Ta có phương trình đã cho: 2a^2 + a = 3b^2 + b
Đưa về dạng chuẩn ta được: 2a^2 - 3b^2 = b - a
Hay (2a + 3b)(a - b) = b - a
Ta có thể chia 2 trường hợp để giải quyết bài toán:
Trường hợp 1: a = b
Khi đó, ta có: 2a^2 + a = 3a^2 + a
=> a = 0
Khi đó, a - b = 0 và 3a + 3b + 1 = 1^2
=> a - b và 3a + 3b + 1 là các số chính phương.
Trường hợp 2: a ≠ b
Ta có: 2a + 3b = 1 và a - b = 3a + 3b + 1
=> 2a + 3b = 1 và 3a + 3b + 1 = (3a + 3b + 1)^2
=> 2a + 3b = 1 và 3a + 3b + 1 = 9a^2 + 18ab + 9b^2 + 6a + 6b + 1
=> 3a + 3b + 1 = 9(a^2 + 2ab + b^2) + 6(a + b) + 1
=> 3a + 3b + 1 = 9(a + b)^2 + 6(a + b) + 1
=> 3a + 3b + 1 = (3(a + b) + 1)^2
=> a - b = (3(a + b) + 1)^2
Vậy ta đã chứng minh được a - b và 3a + 3b + 1 là các số chính phương.