a) Ta có:
$\angle KBC = \angle KBO$ (do KB là tiếp tuyến)
$\angle KOC = \angle KBC$ (cùng chắn cung KO)
$\angle KOC = \angle KBO$ (do KB và KC là tiếp tuyến)
Vậy tứ giác KBOC là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle KBD = \angle KED$ (cùng ngoại tiếp)
$\angle KBD = \angle KCD$ (do KB và KC là tiếp tuyến)
Vậy tứ giác KBDC là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác KBDC ta có:
$KB.DC + KD.BC = KC.BD$
Vì tứ giác KBOC là tứ giác nội tiếp nên $KB.DC = KC.BD$
Nên $KB.DC + KD.BC = KB.DC$
Suy ra $KD.BC = KB.DC$
Vậy $KB = KD.KE$

c) Ta có:
$\angle BIK = \angle KBC$ (cùng chắn cung KO)
$\angle CIK = \angle KOC$ (cùng chắn cung KO)
Vậy $\angle BIK = \angle CIK$
Nên BC là đường phân giác của góc DIE.