Để chứng minh rằng phương trình \(x^2 - 2x - 3m^2 + m - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\), ta sẽ sử dụng định lí về delta của phương trình bậc hai.

Phương trình \(x^2 - 2x - 3m^2 + m - 2 = 0\) có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3m^2 + m - 2\).

Theo định lí về delta của phương trình bậc hai, phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\).

Ta tính delta của phương trình:
\[\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3m^2 + m - 2) = 4 + 12m^2 - 4m + 8 = 12m^2 - 4m + 12\]

Để chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\), ta cần chứng minh rằng \(\Delta > 0\) với mọi \(m\).

Để giải quyết bất đẳng thức \(\Delta > 0\), ta chuyển về dạng bất đẳng thức bậc hai:
\[12m^2 - 4m + 12 > 0\]

Để giải bất đẳng thức trên, ta cần tìm điều kiện để hàm số \(f(m) = 12m^2 - 4m + 12\) luôn lớn hơn 0.

Để giải bất đẳng thức này, ta cần xác định dấu của hàm số \(f(m)\). Ta có:
\[f'(m) = 24m - 4\]

Để tìm cực trị của hàm số, ta giải phương trình \(f'(m) = 0\):
\[24m - 4 = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{6}\]

Ta thấy rằng \(f'(m) > 0\) với \(m > \frac{1}{6}\) và \(f'(m) < 0\) với \(m < \frac{1}{6}\).

Vậy, ta có thể kết luận rằng với mọi \(m\), hàm số \(f(m) = 12m^2 - 4m + 12\) luôn lớn hơn 0, tức là \(\Delta > 0\), từ đó phương trình \(x^2 - 2x - 3m^2 + m - 2 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).