Cho 2 số phức z1 vs z2 thỏa mãn:

Để giải bài toán này, ta cần giải hệ phương trình sau:

1) |z1 - z2| = √2
2) |z1 + 4 - 4i| = 3√2 - |z2|

Gọi z1 = a + bi và z2 = c + di, thay vào hệ phương trình trên ta được:

1) √((a - c)^2 + (b - d)^2) = √2
2) √((a + 4 - c)^2 + (b - 4 - d)^2) = 3√2 - √(c^2 + d^2)

Bình phương cả 2 vế của phương trình thứ 2 ta được:

(a + 4 - c)^2 + (b - 4 - d)^2 = (3√2 - √(c^2 + d^2))^2
(a + 4 - c)^2 + (b - 4 - d)^2 = 18 - 6√2(c^2 + d^2) + c^2 + d^2

Đặt x = c - a và y = d - b, ta có hệ phương trình sau:

1) x^2 + y^2 = 2
2) (x + 4)^2 + (y + 4)^2 = 18 - 6√2(x^2 + y^2) + x^2 + y^2

Giải hệ phương trình trên ta được x = -1 và y = ±√3. Do đó, z1 = a + bi = -1 - √3i và z2 = c + di = -1 + √3i.

Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức P = |z2 + 1 + 2i|:

P = |-1 + √3i + 1 + 2i| = |√3i + 2i| = |(√3 + 2)i| = √(√3 + 2)^2 = √(7 + 4√3)

Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P lần lượt là √(7 + 4√3) và -√(7 + 4√3).

Cuối cùng, ta tính M^2 + m^2:

M^2 + m^2 = (√(7 + 4√3))^2 + (-√(7 + 4√3))^2 = 7 + 4√3 + 7 + 4√3 = 14 + 8√3

Vậy kết quả cần tìm là 14 + 8√3.