Trong hình vẽ, ta có:

• Tứ giác $QEBA$ nội tiếp đường tròn vì $\angle QEB = \angle QAB$ (cùng nằm trên cùng một cung $QB$).


• Ta có $\angle QAB = \angle QPB$ (cùng nằm trên cùng một cung $QP$).


• Do đó, $\angle QEB = \angle QPB$.


• Ta cũng có $\angle QEB = \angle QIB$ (do $QI$ là đường kính).


• Do đó, $\angle QPB = \angle QIB$.


• Vậy, $PB \cdot QE = PQ \cdot PE$ (do hai tam giác $QPB$ và $QEB$ đồng dạng).


• Do đó, $PA \cdot PQ = PB \cdot PE$ (vì $PA = PB$).


• Vậy, $PA \cdot PQ = PB \cdot PE$.


• Ta cũng có $\angle ANP = \angle AEP$ (cùng nằm trên cùng một cung $AP$).


• Do đó, $AP$ là phân giác ngoài của tam giác $ANM$.