Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để giải bài toán này. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai dãy số $(\sqrt{a+b}, \sqrt{b+c}, \sqrt{a+c})$ và $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$, ta có:

$(\sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{a+c})^2 \leq (1+1+1)(a+b+b+c+a+c) = 9(a+b+c) = 9$

Với điều kiện $a, b, c > 0$ và $a+b+c=1$, ta thấy $a+b+c = 1$ là trường hợp bằng của bất đẳng thức. Do đó, giá trị lớn nhất của $S$ là $\sqrt{9} = 3$.