Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. AH vuông góc với BC

Ta có HB = HD (1) và tam giác HBD vuông tại H nên ta có:

\(\angle HBD = 90^\circ - \angle BHD = 90^\circ - \angle BAH = \angle A\)

Vậy ta có tam giác HBD đồng dạng với tam giác ABC theo góc nội tiếp nên:

\(\frac{HB}{AB} = \frac{HD}{AC} = \frac{BD}{BC}\)

Từ đây suy ra BD = BC (2)

Ta có tam giác HCE vuông tại H nên ta có:

\(\angle HCE = 90^\circ - \angle ECH = 90^\circ - \angle BAH = \angle A\)

Vậy ta có tam giác HCE đồng dạng với tam giác ABC theo góc nội tiếp nên:

\(\frac{HC}{AC} = \frac{HE}{AB} = \frac{CE}{BC}\)

Từ đây suy ra CE = BC (3)

Từ (2) và (3) suy ra BD = CE

Do đó ta có tam giác BDC cân tại D nên KD là tia phân giác của góc HKE.