Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD cắt CE tại H

Chứng minh:

Do tam giác ABC nhọn nên ta có BD là đường cao của tam giác ABC.

Đường cao BD cắt CE tại H.

Do tứ giác BFCD nội tiếp nên ta có góc BFC = góc BDC = 90 độ.

Đặt M là trung điểm của BC, ta có AM song song với HD (do AB//HD).

Do đường tròn đường kính AH nên ta có AG = GH.

Áp dụng định lí Ptolemy trong tứ giác AFDC ta có: AF . BC = AB . FC + AC . BF.

Áp dụng định lí Ptolemy trong tứ giác AGMC ta có: AG . BC = AC . GM + AM . GC.

Do AF . BC = AG . BC nên ta có AB . FC + AC . BF = AC . GM + AM . GC.

Do AB = 2AM nên ta có 2AC . FC + AC . BF = AC . GM + AM . GC.

Suy ra FC = GM và BF = 2GC.

Do BF = 2GC nên ta có góc BCF = 2góc GCM.

Do BF = 2GC nên ta có góc BFC = 2góc GCM.

Vậy ta có góc BCF = góc BFC = góc GCM.

Do góc BCF = góc GCM nên ta có MAC = GCM.

Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.