Cho tam giác ABC nhọn, AB nhỏ hơn AC

Để chứng minh tam giác AE đồng dạng với tam giác ANB, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác.

Ta có:
$\frac{AE}{AN} = \frac{AB}{AB+BN} = \frac{AB}{AB+BF} = \frac{AB}{AF}$
Vậy tam giác AE đồng dạng với tam giác ANB.

Để chứng minh góc AEF bằng góc ACB, ta có:
$\angle AEF = \angle AEN = \angle ACB$ (do AE đồng dạng với ANB)

Để chứng minh tam giác ION đồng dạng với tam giác INF, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác.

Ta có:
$\frac{IO}{IN} = \frac{IB}{IB+BN} = \frac{IB}{IB+BF} = \frac{IB}{IF}$
Vậy tam giác ION đồng dạng với tam giác INF.

Vì IN vuông góc với BD (do I là trung điểm của EF nên IN song song với EF), nên ta có: $\angle INK = 90^\circ$

Vậy ta đã chứng minh được tam giác INK đồng dạng với tam giác INF và NK vuông góc với BD.