Giải:

a) Để đường thẳng đi qua điểm (1; 2), ta thay x = 1 và y = 2 vào phương trình hàm số:

2 = (4 - m) * 1 + 2m + 1

2 = 4 - m + 2m + 1

2 = 5 + m

m = -3

Vậy để đường thẳng đi qua điểm (1; 2), ta cần m = -3.

b) Để đường thẳng cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm nằm trên trục tung, ta cần tìm điểm cắt của hai đường thẳng.

Điểm cắt của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

{(4 - m)x + 2m + 1 = x + 1

{(4 - m)x + 2m = x

{(4 - m - 1)x = -2m

{(3 - m)x = -2m

x = -2m / (3 - m)

Để điểm cắt nằm trên trục tung, ta có x = 0:

0 = -2m / (3 - m)

0 = -2m

m = 0

Vậy để đường thẳng cắt đường thẳng y = x + 1 tại một điểm nằm trên trục tung, ta cần m = 0.