Để chứng minh các phần trên, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below right:$C$] (C) at (3,0);
\coordinate[label=above right:$B$] (B) at (2.4,3.2);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (2.4,0);
\coordinate[label=above:$M$] (M) at (1.2,1.6);
\coordinate[label=above:$N$] (N) at (1.2,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (H);
\draw (B) -- (H);
\draw (M) -- (N);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có $AC = 3cm$, $AB = 4cm$, $BC = 5cm$.

Ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:

\[AB^2 + AC^2 = BC^2\]

\[4^2 + 3^2 = 5^2\]

\[16 + 9 = 25\]

\[25 = 25\]

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Ta có $M$ là trung điểm của $AH$ và $N$ là trung điểm của $BH$.

Do đó, ta có $AM = MH$ và $BN = NH$.

Ta thấy các góc $\angle HAM$ và $\angle HBN$ là góc vuông.

Vậy ta có $\triangle HMN$ đồng dạng với $\triangle ABC$ theo góc.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).