Để phương trình có nghiệm, ta cần phải thỏa mãn điều kiện tồn tại của căn bậc hai trong phương trình.

Ta có phương trình ban đầu là: √x² + x + 1 = √2x² + mx + m + 1

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
(x² + x + 1)² = (2x² + mx + m + 1)²
⇔ x² + 2x + 1 + x² + 2x + 1 + 1 = 4x⁴ + 2mx³ + (2m² + 4)x² + 2m(m+1)x + (m² + 2m + 1)

Simplify:
2x² + 4x + 3 = 4x⁴ + 2mx³ + 2m²x² + 4mx² + 2m²x + 2mx + m² + 2m + 1

Rearrange:
4x⁴ + (2m³ + 6)x³ + (2m² + 6m + 3)x² + (2m² + 6m + 3)x + m² + 2m + 1 - 3 = 0
4x⁴ + (2m³ + 6)x³ + (2m² + 6m + 3)x² + (2m² + 6m + 3)x + m² + 2m - 2 = 0

Để phương trình trên có nghiệm, ta cần phải có một số nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đa thức trên phải có ít nhất một nghiệm thực. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đa thức trên không có nghiệm âm.

Vậy, điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm là:
2m² + 6m + 3 ≥ 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được:
m² + 3m + 1.5 ≥ 0

Điều này xảy ra với mọi giá trị của m, vì m² luôn không âm và 3m và 1.5 cũng không âm.

Vậy, điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm là m thuộc tập hợp tất cả các số thực.