Tìm m để (P) và (d) cùng đi qua điểm có hoành độ là 4

a) Để (p) và (d) cùng đi qua điểm có hoành độ 4, ta cần giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{x^2}{2} = m \cdot x - m + 2 \\
x = 4
\end{cases}
\]

Thay x = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được:
\[
\frac{4^2}{2} = m \cdot 4 - m + 2
\]
\[
8 = 4m - m + 2
\]
\[
8 = 3m + 2
\]
\[
3m = 6
\]
\[
m = 2
\]

Vậy m = 2 để (p) và (d) cùng đi qua điểm có hoành độ 4.

b) Để chứng minh (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt với mọi m, ta cần xét định thức của hệ phương trình:
\[
\begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -m \\
0 & 1 & 0
\end{vmatrix}
= 1 \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-m) \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-m) \cdot 2 - 1 \cdot 1 \cdot 0
= 2m \neq 0
\]

Vậy định thức khác 0, nên (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

c) Gọi (x1, y1) và (x2, y2) là toạ độ giao điểm của (d) và (p). Ta có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
\frac{x^2}{2} = 2x - 2 + 2 \\
y = 2x - 2 + 2
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình trên, ta được:
\[
\begin{cases}
\frac{x^2}{2} = 2x \\
y = 2x
\end{cases}
\]

Để tìm (x1, y1) và (x2, y2), giải hệ phương trình trên ta được x1 = 0, y1 = 0 và x2 = 4, y2 = 8.

Vậy y1 + y2 = 0 + 8 = 8 = (2\sqrt{2} - 1)(0 + 4) = (2\sqrt{2} - 1)(x1 + x2).

Vậy ta đã chứng minh được y1 + y2 = (2\sqrt{2} - 1)(x1 + x2).