a) Xét tứ giác  AEOC có E là điểm chính giữa cung MN nên OE⊥MN
lai có:  OC⊥AC (tính chất tia tiếp tuyến) ⇒AEOC nội tiếp được hay 4 điểm A,E,O,CA,E,O,C thuộc một đường tròn 
b) Ta có: 
∠AOC=1/2 ∠BOC = 1/2 sđcung BC = ∠BIC
c)  Vì 5 điểm A,B,O,E,C cùng thuộc 1 đường tròn 
⇒∠AOC=∠AEC=1/2.sđcungBC
⇒∠BIC=∠AEC
mà  ∠BIC;∠AEC là 2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau nên 
ta có MN//IB
d) Ta có:
AM + AN = AM + AM + MN
=2AM+2ME=2(AM+ME)=2AE
Do đó AM+AN lớn nhất khi AE lớn nhất . 
Trong tam giác vuông OAE ta có AE<OA
(cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông ) 
Do đó AE lớn nhất khi AE=OA
Lúc ấy E trùng với O 
Vậy cát tuyến AMN lớn nhất khi AMN đi qua tâm O .