a) Ta có:
$\angle BAE = \angle CDE$ (cùng là phân giác của $\angle A$)
$\angle ABE = \angle ECD$ (vuông góc)
Vậy tam giác BAE đồng dạng với tam giác CDE (theo góc - góc).
Do đó, ta có: $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$
$\Rightarrow AB \cdot DE = CD \cdot AE$
$\Rightarrow AB \cdot DE = CD \cdot AE$

b) Ta có:
$\angle EBC = 90^\circ - \angle ABE = 90^\circ - \angle ECD = \angle ECD$
Vậy góc EBC bằng góc ECD.

c) Ta có:
$AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$3^2 + 4^2 = BC^2$
$BC = 5$ cm

Vì tam giác BAE đồng dạng với tam giác CDE nên:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$
$\frac{3}{5} = \frac{AE}{DE}$
$\Rightarrow AE = \frac{3}{5} \cdot DE$

Vậy ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} AB \cdot DE = CD \cdot AE \\ AE = \frac{3}{5} \cdot DE \end{cases}$
Thay $AB = 3$, $CD = 5$ vào hệ phương trình trên, ta có:
$3 \cdot DE = 5 \cdot \frac{3}{5} \cdot DE$
$DE = 3$ cm

Vậy $AC = 4$ cm, $AE = 3$ cm và $BD = DE = 3$ cm.