Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = MC

a) Ta có MC = MN = MC nên tam giác MNC đều. Do đó, CN = MC = MN = BC. Vậy BC = CN = AC.

b) Ta có AC + BC = 2BC = 2CN = 2MN = MC + CN > CN.

c) Ta có BP = BA nên tam giác BAP đều. Do đó, BP = AP = BA. Gọi I là giao điểm của BP và AC. Ta có AI = IC (do tam giác BAP đều) và BI = IP (do BP = AP). Vậy tam giác BIP đều.

Gọi Q' là trung điểm của NP. Ta có Q'I // BC và Q'I = 1/2 BC = 1/2 CN = QN. Vậy tam giác Q'IN cũng đều.

Vậy ta có tam giác Q'IN và tam giác BIP đều, từ đó suy ra Q'I = BI = IP = Q'N.

Vậy tam giác Q'IN cũng đều, từ đó suy ra Q'N = Q'I = NI.

Vậy Q' trùng với Q, tức là tam giác QIN cũng đều.

Vậy 3 điểm Q, B, C thẳng hàng.