Để tìm các giá trị của tham số m, ta cần xác định 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x^3 - 3mx + 2.

Để tìm điểm cực trị, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0.

f'(x) = 3x^2 - 3m

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình 3x^2 - 3m = 0

=> x^2 - m = 0

=> x = ±√m

Khi đó, ta có 2 điểm cực trị là A(√m, f(√m)) và B(-√m, f(-√m)).

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị A và B có phương trình là y = mx + 2.

Để xác định điểm cắt giữa đường thẳng y = mx + 2 và đường tròn tâm I(1,1) bán kính 1, ta giải hệ phương trình:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1

mx + 2 = y

Thay y = mx + 2 vào phương trình đường tròn, ta có:

(x - 1)^2 + (mx + 1)^2 = 1

Suy ra, x = 1 hoặc x = 1 - m^2/(1 + m^2)

Khi x = 1, ta có y = m + 2

Khi x = 1 - m^2/(1 + m^2), ta có y = m(1 - m^2/(1 + m^2)) + 2

Diện tích tam giác IAB là S = 1/2 * AB * h

Với AB = √(m^2 + 1) và h = |m - 1|

Vậy diện tích tam giác IAB là S = 1/2 * √(m^2 + 1) * |m - 1|

Để diện tích tam giác lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của S, tức là tìm giá trị lớn nhất của hàm số S = 1/2 * √(m^2 + 1) * |m - 1|

Đạo hàm của hàm số S và giải phương trình S'(m) = 0 để tìm giá trị của m.