Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác cân.

a, Ta có:
- Do đường trung trực của tam giác ABC cắt BC tại I nên AI là đường cao của tam giác ABC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AI là đường trung trực của BC.
- Do đó, AI là đường trung trực của tam giác ABC nên ID = IC.
- Ta cũng có IB = IC (vì tam giác ABC vuông tại A nên AB = AC).
Vậy tam giác DBC là tam giác cân.

b, Ta có:
- Vì tam giác DBC là tam giác cân nên ID = IC.
- Do đường trung trực của tam giác ABC cắt BC tại I nên IH là đường trung trực của BC.
- Vậy IH vuông góc với DC.

c, Ta có:
- Vì tam giác DBC là tam giác cân nên BD = DC.
- Do đường trung trực của tam giác ABC cắt BC tại I nên AI là đường trung trực của BC.
- Vậy AD = DC.
- Vì AB < AC nên AD < AC.
- Vậy AH < HC.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.