a, Ta có ∠AKB = 90° và ∠CAB = 90° nên ∆AKB ∼ ∆CAB theo góc.

b, Ta có AK/AC = AB/BC (theo định lí đồng dạng) => AK/6 = 8/BC => AK = 48/BC
Ta có AK² + KB² = AB² => (48/BC)² + KB² = 8² => 2304/BC² + KB² = 64
=> KB² = 64 - 2304/BC²
Vì ∆AKB ∼ ∆CAB nên AK/AB = KB/AC => KB = AK*AC/AB = 48/BC * 6 / 8 = 36/BC
=> (36/BC)² = 64 - 2304/BC²
=> 1296/BC² = 64 - 2304/BC²
=> 2304 + 1296 = 64BC² - 2304
=> 4600 = 64BC²
=> BC = √(4600/64) = 5
Vậy BC = 5, AK = 48/5 = 9.6, BK = 36/5 = 7.2

c, Ta có ∆ABK ∼ ∆CAK theo góc và AK² = KB*KC
=> AK/AC = AB/AK => AK² = KB*KC
=> 48/5 = 8 => KC = 6

d, Ta có E là trung điểm của KC nên E là trung điểm của CN
=> AE song song với KN và GN song song với AC
=> GN/AK = GE/EA = 1/2
=> GN = 1/3 * AK = 3.2
=> AI = AK - KI = 9.6 - 3.2 = 6.4
Vậy AK = 4.KI.