Gọi $\angle ABD = \angle ADB = x$ và $\angle ABC = \angle ACB = y$.

Ta có $BD = 2AM = 2BM$, suy ra tam giác BDM cũng là tam giác cân tại D. Do đó, ta có $\angle BDM = \angle DBM = \frac{180^\circ - \angle BMD}{2} = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2}$.

Trong tam giác BCD, ta có $\angle BCD = 180^\circ - \angle BDC - \angle DBC = 180^\circ - \angle BDM - \angle ABD = 180^\circ - (90^\circ - \frac{x}{2}) - x = 90^\circ + \frac{x}{2} - x = 90^\circ - \frac{x}{2}$.

Vậy ta có $\angle BCD = 90^\circ - \frac{x}{2}$.

Do tam giác ABC cân tại A nên $\angle ABC = \angle ACB = y$.

Ta có tổng các góc trong tam giác ABC là $180^\circ$, suy ra $2y + 90^\circ - \frac{x}{2} = 180^\circ$ hoặc $2y = 90^\circ + \frac{x}{2}$.

Kết hợp với $\angle BCD = 90^\circ - \frac{x}{2}$, ta có $2y = \angle BCD$.

Vậy các góc của tam giác ABC là $\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ$ và $\angle BCD = 45^\circ$.