Cho đường tròn (O), vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại M ở bên trong đường tròn (C thuộc cung nhỉ AB)

Để chứng minh AN vuông góc BD, ta sẽ sử dụng các bước sau:

1) Ta có AHCM nội tiếp (do AB vuông góc với CD tại M).
2) Ta có góc MAC = góc MEB (do AB vuông góc với CD tại M).
3) Ta có MF = MC (do MD là đường trung tuyến của tam giác MCF).
4) Ta cần chứng minh AN // CD để suy ra AN vuông góc BD.

Giả sử góc MAC = x, ta có góc MEB = x (do AB vuông góc với CD tại M).
Ta có góc MCF = góc MFC = 90 - x (do tam giác MCF vuông tại C).
Vậy ta có tam giác MCF vuông cân tại C.

Do đó, ta có MF = MC = CF, suy ra tam giác MCF đều.
Khi đó, ta có góc MCF = 60 độ.

Vậy ta có góc MCF = 60 độ, góc MAC = 90 độ, suy ra góc MAF = 30 độ.

Từ đó, ta có góc MAF = góc MCF, suy ra tam giác MAF đồng dạng với tam giác MCF.

Do đó, ta có AN // CD (do góc MAF = góc MCF = 60 độ), từ đó suy ra AN vuông góc BD.

Vậy ta đã chứng minh được AN vuông góc BD.