Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C, D là hai điểm di động trên nửa đường tròn sao cho C thuộc cung AD và COD = 60° (C + A; D = B ). Gọi M là giao điểm của tia AC và BD, N là giao điểm của AD và BC

a) Ta có:
\(\angle CMD = \angle CMO + \angle DMO = \angle CAO + \angle DBO = \angle CAD + \angle DBA = 180^\circ - \angle CND = \angle CND\).
Do đó tứ giác CMDN nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle CPD = \angle CPB + \angle BPD = \angle CAD + \angle DBA = 60^\circ\).
Vậy CP = DQ.
Từ đó, ta có: \(AP + BQ = AC + BD = 2R\cos{60^\circ} + 2R\cos{60^\circ} = 2R\sqrt{3}\).

c) Ta có: \(H = \frac{C+D}{2}\), \(I = \frac{M+N}{2}\), \(O = \frac{A+B}{2}\).
Vậy ba điểm H, I và O thẳng hàng.
Để tìm diện tích lớn nhất của tam giác MCD, ta cần tìm điểm C và D sao cho \(CD = 2R\) và \(\angle COD = 60^\circ\).
Khi đó, diện tích tam giác MCD sẽ là \(S = \frac{1}{2} \times 2R \times R \times \sin{60^\circ} = R^2\sqrt{3}\).