Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Trong tam giác vuông \(ADH\), ta có: \(\angle ADH = 90^\circ\), nên \(AD\) là đường cao của tam giác \(ABH\).
2. Trong tam giác vuông \(ABH\), ta có: \(\angle ABH = 90^\circ\), nên \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABH\).
3. Trong tam giác \(ABH\), ta có: \(\angle AHB = 90^\circ\), nên \(AH\) là cạnh huyền.
4. Từ hai điểm \(A\) và \(H\), vẽ hai đường thẳng \(AD\) và \(BI\) cắt nhau tại \(I\), ta có: \(\angle AID = \angle BID = 90^\circ\), nên tứ giác \(ABID\) là tứ giác nội tiếp.
5. Từ định lí Ptolemy, ta có: \(AD \cdot BH + AB \cdot HD = AI \cdot BD\).
6. Từ hai tam giác \(ADH\) và \(ABH\) đồng dạng, ta có: \(\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{HB} = \frac{HD}{AD}\).
7. Từ điều kiện đồng dạng, ta có: \(AD \cdot BH = AB \cdot HD\).
8. Từ điều kiện tứ giác nội tiếp, ta có: \(AI \cdot BD = AB \cdot HD + AD \cdot BH\).
9. Từ (5), (7) và (8), ta có: \(AI \cdot BD = AD \cdot BH + AB \cdot HD = AD \cdot BH + AD \cdot HB = AD \cdot AB\).
10. Từ (9), ta suy ra: \(AI = AB\).
11. Từ (10) và (6), ta suy ra: tam giác \(ADH\) đồng dạng với tam giác \(ABH\).
12. Từ (7), ta suy ra: \(AD \cdot AB = HB \cdot HC\).

Vậy ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.