a) Để chứng minh tứ giác DEFC nội tiếp, ta sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác. Vì CE và DF là các đường cao của tam giác BCD, nên ta có:
∠CDE = 90° - ∠BCD
∠CDF = 90° - ∠BCD
Do đó, ta có:
∠CDE + ∠CDF = (90° - ∠BCD) + (90° - ∠BCD) = 180° - 2∠BCD
Vì ∠CDE + ∠CDF = 180° - ∠DEF, nên ta có:
∠DEF = 180° - 2∠BCD
Tương tự, ta có:
∠DFE = 180° - 2∠BCD
Vì ∠DEF + ∠DFE = 180°, nên tứ giác DEFC là tứ giác nội tiếp.
Để chứng minh EF//AB, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và cát tuyến. Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại điểm B và ACD là cát tuyến của (O), nên ta có:
∠CAB = ∠ADC (góc ở tiếp điểm)
∠ADC = ∠DCE (đường cao và cát tuyến)
∠DCE = ∠DEF (tứ giác DEFC nội tiếp)
Do đó, ta có:
∠CAB = ∠DEF
Vậy, EF//AB.
b) Để chứng minh tam giác FHC đồng dạng tam giác GAB, ta sử dụng góc nội tiếp và góc ngoại tiếp. Vì DEFC là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
∠DFE = ∠DCE
Vì EF//AB, nên ta có:
∠DEF = ∠CAB
Do đó, ta có:
∠DFE = ∠DCE = ∠DEF = ∠CAB
Vậy, tam giác FHC đồng dạng tam giác GAB.
c) Để chứng minh OM vuông góc với CD, ta sử dụng tính chất của đường cao và tiếp tuyến. Vì CE và DF là các đường cao của tam giác BCD, nên ta có:
CE ⊥ BD
DF ⊥ BC
Vì EF//AB và CE ⊥ BD, nên ta có:
∠BDE = ∠DEF
Vì EF//AB và DF ⊥ BC, nên ta có:
∠BCF = ∠DFE
Do đó, ta có:
∠BDE + ∠BCF = ∠DEF + ∠DFE = 180°
Vậy, OM vuông góc với CD.