a) Ta có:
$\angle AMO = \angle AEO$ (do MA là tiếp tuyến của (O))
$\angle AEO = \angle MFE$ (cùng chắn cung EF)
$\angle MFE = \angle MBO$ (do MF là tiếp tuyến của (O))
Vậy ta có: $\angle AMO = \angle MBO$, suy ra tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Ta có: $\angle MEF = \angle MOF$ (cùng chắn cung EF)
$\angle MOF = \angle MBF$ (do MF là tiếp tuyến của (O))
Vậy ta có: $\angle MEF = \angle MBF$, suy ra $\triangle MBE \sim \triangle MFB$.
Từ đó, ta có: $MB^2 = ME \cdot MF$.
Vì $H$ là trung điểm của $EF$, nên $HE = HF$.
Khi đó, ta có: $\angle HME = \angle HMF$ (cùng phụ)
$\angle HME = \angle HMB$ (do $\triangle MBE \sim \triangle MFB$)
Vậy ta có: $\angle HMB = \angle HMF$, suy ra $H, O, M, B$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có: $\angle MBK = \angle MEK$ (do $EK \parallel BM$)
$\angle MEK = \angle MAT$ (cùng chắn cung ET)
Vậy ta có: $\angle MBK = \angle MAT$, suy ra $\triangle ATE$ cân tại $T$.