Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_1 + x_2 = 4\) và \((x_1 + 1)(x_2 + 1) = 0\), ta sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai \(x^2 - 2(m + 1)x - 4m - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \( \Delta > 0\), trong đó \(\Delta = (m + 1)^2 - 4(-4m - 8)\).

Giải bất phương trình \(x_1 + x_2 = 4\) ta có \(x_2 = 4 - x_1\). Thay \(x_2\) vào \((x_1 + 1)(x_2 + 1) = 0\) ta được \((x_1 + 1)((4 - x_1) + 1) = 0\).

Mở ngoặc ta có \((x_1 + 1)(5 - x_1) = 0\).

Tương đương với \(-x_1^2 + 4x_1 + 5 = 0\).

Tính \(\Delta_1 = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(5) = 16 + 20 = 36\).

Để phương trình \( -x_1^2 + 4x_1 + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta_1 > 0\).

Do đó, \( \Delta > 0 \) và \(\Delta_1 > 0\).

Ta có \((m + 1)^2 - 4(-4m - 8) > 0\) và \(36 > 0\).

Giải phương trình \( (m + 1)^2 - 4(-4m - 8) > 0 \) ta có:

\[(m + 1)^2 + 16m + 32 > 0.\]

\[(m^2 + 2m + 1) + 16m + 32 > 0.\]

\[m^2 + 18m + 33 > 0.\]

Điều này là đúng vì \(\Delta_1 > 0\).

Nên các giá trị \(m\) thỏa mãn điều kiện là \(m^2 + 18m + 33 > 0\).