a) Ta có BA = R, BC = 2R nên tam giác ABC vuông tại B. Do đó, góc ABC = 90 độ. Vì BA = R nên góc BAC = 30 độ. Do đó, tam giác AOM là tam giác đều.

b) Ta có góc AIM = góc AMC (cùng chắn cung AC) = góc ABC (do tam giác ABC vuông tại B) = 90 độ. Vậy tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn.

c) Diện tích hình quạt ADC = 1/3 diện tích tam giác ADC * AD = 1/3 * (AC * DC) * AD = 1/3 * (2R * R) * R = 2R^3.

d) Góc ADI = góc AMD = góc ABC = 90 độ.

e) Ta có góc ABM = 45 độ, góc ABC = 90 độ nên góc MBC = 45 độ. Do đó, tam giác MBC là tam giác vuông cân tại M. Vậy BM = BC/√2 = R√2.
Từ tam giác AMD vuông tại M, ta có: AD = √(AM^2 + MD^2) = √(R^2 + (2R)^2) = √(R^2 + 4R^2) = √5R.

Vậy độ dài đoạn thẳng AD theo R là √5R.