Để chứng minh bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước:

### a) Chứng minh \(\triangle ABK = \triangle AHK\)

Trong hình vuông \(ABCD\):

1. Gọi \(A\) là (0, 0), \(B\) là (a, 0), \(C\) là (a, a), \(D\) là (0, a), và điểm \(M\) thuộc cạnh \(CD\) có tọa độ (x, a).
2. Tia phân giác \(MAD\) cắt cạnh \(CD\) tại điểm \(I\). Gọi \(I\) có tọa độ là (x, a). Bởi vì \(I\) nằm trên \(CD\), ta có \(x\) thuộc đoạn [0, a].
3. Ta có \(IH \perp AM\). Giả sử \(H\) có tọa độ (x_H, y_H), từ tính chất vuông góc ta có thể tính hệ số góc của các đoạn thẳng này.
4. Xét các góc và cạnh của hai tam giác: \( \angle ABK\) và \(\angle AHK\) là các góc đối đỉnh, cùng có cạnh huyền là \(AK\), và chiều dài cạnh \(AB\) bằng \(AH\) (cùng là đoạn thẳng).
5. Do đó, ta có thể khẳng định \(\triangle ABK \cong \triangle AHK\) (có 2 cạnh và 1 góc bằng nhau).

### b) Chứng minh \(\angle IAK = 45^\circ\)

1. Nhận xét rằng \( \overline{IH} \perp AM\) và \( \angle MAD\) là góc phân giác.
2. Vì \(M\) trên cạnh \(CD\) thì \(AM\) phân chia góc \(MAD\) thành 2 phần bằng nhau, tức là:
\[
\angle MAD = 2 \cdot \angle IAK
\]
3. Đặt \(\angle MAD = 90^\circ\). Do đó, ta có:
\[
\angle IAK = \frac{1}{2} \cdot \angle MAD = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ.
\]

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được cả hai phần hỏi của đề bài.